Teilprojekte

des SFB TRR 154 in Phase 2

Teilbereich A: Ganzzahlig-kontinuierliche Methoden

A01: Globale Methoden für stationären und instationären Gastransport

Ansprechpartner:

Oliver Habeck

Oliver Habeck

Prof. Dr. Marc Pfetsch

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

Dieses Teilprojekt verfolgt das Ziel Methoden zur globalen Lösung von Optimierungsprobleme mit ODE- bzw. PDE-Nebenbedingungen und ganzzahligen Entscheidungen zu entwickeln. Einerseits soll dies für instationäre Gasflüsse und anderseits für Topologieplanungsprobleme geschehen. Wesentlich ist in beiden Fällen die Entwicklung von guten Unter- und Oberschranken für die Lösungen sowie eine darauf abgestimmte Behandlung der ganzzahligen Entscheidungen.

A02: Analysis und konsistente numerische Approximation von Optimierungsproblemen für hyperbolische PDE-Modelle von Gasnetzwerken

Ansprechpartner:

Paloma Schäfer Aguilar

Paloma Schäfer Aguilar

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

Ziel des Teilprojekts ist die Analysis und die konvergente numerische Diskretisierung von zustandsbeschränkten Optimierungsproblemen für Entropielösungen instationärer hyperbolischer PDE-Modelle von Gasnetzwerken. Hierbei soll die Konvergenz numerischer Approximationen sowie der zugehörigen Sensitivitäten und Adjungierten von Optimalsteuerungsproblemen für Netzwerke von Systemen hyperbolischer Bilanzgleichungen mit kontinuierlichen und schaltenden Steuerungen untersucht werden. Zudem soll das in der ersten Phase entwickelte Sensitivitäts- und Adjungierten-Kalkül auf allgemeinere BV-Lösungen in Netzwerken erweitert werden.

A03: Gemischt ganzzahlig-kontinuierlich dynamische Systeme mit partiellen Differentialgleichungen

Ansprechpartner:

Yan Brodskyi

Prof. Dr. Falk Hante

Das Projektziel ist die Entwicklung von Steuerungstheorie für gemischt ganzzahlig-kontinuierliche (hybride) dynamische Systeme mit partiellen Differentialgleichungen. Ausgehend von Regularitäts- und Sensitivitätsergebnissen aus der ersten Phase werden Receding-Horizon-Methoden entwickelt und untersucht, die auf Optimalitätsprinzipien basierend gemischt-ganzzahlige Entscheidungen zur Steuerung solcher Systeme auch unter Unsicherheiten beispielsweise zur Ventilsteuerung für Gasnetzwerke im nichtstationären Betrieb ermöglichen.

A05: Dekompositionsmethoden für ganzzahlig-kontinuierliche Optimalsteuerung

Ansprechpartner:

Richard Krug

Prof. Dr. Günter Leugering

Prof. Dr. Alexander Martin

Prof. Dr. Martin Schmidt

Wie in der ersten Phase betrachten wir die semilineare Variante der Eulergleichungen. Durch die in der ersten Phase erreichten Resultate sind wir in der Lage, Instantansteuerungen auf Netzen moderater Größe für zeitabhängige Probleme auf Basis dieses Modells zu berechnen. Hierzu wurde ein gemischt implizit-expliziter Euler-Ansatz zur Zeitdiskretisierung verfolgt. Diese Strategie ermöglicht es, den Reibungsterm als quadratischen Term im Fluss aufzufassen und ihn als monotone Störung zu behandeln. Die in der ersten Phase in AP 1 vervollständigte Analyse wurde in AP 2 durch eine Ortsbereichszerlegung erweitert, in der das vollständige Problem auf dem Gesamtgraphen iterativ in analoge Probleme auf Teilgraphen dekomponiert wurde. Daher ist es nun möglich, das zeitabhängige Gesamtproblem auf Probleme herunterzubrechen, die Teilgraphen geeigneter Größe mit Ventilen und Kompressoren beinhalten, wobei aufgrund der Formulierung als Instantansteuerungsproblem jeweils nur über einen Zeitschritt optimiert werden muss. Die Zerlegung im Ort erlaubt eine vollständige Parallelisierung der Optimalsteuerungsprobleme derart, dass das in der aktuellen Iteration betrachtete Problem auf einem gegebenen Teilgraphen über die verbindenden Kanten mit allen adjazenten Teilgraphen (aus der letzten Iteration) aufdatiert wird. Die lokalen Optimalitätssysteme entsprechen dann in diesem Fall den lokalen Optimalsteuerungsproblemen. Das Ziel der zweite Phase ist es, diese Ortsbereichszerlegung mit einer iterativen Zeitbereichszerlegung zu verzahnen. Dazu soll das Problem sowohl auf dem gesamten Graphen in Teilgraphen, als auch auf dem gesamten Zeithorizont in kontinuierliche Zeitintervalle zerlegt werden. Auf diese Weise entstehen semilineare Probleme auf Teilgraphen und Zeithorizonten, die nach vollständiger Zeit- und Ortsdiskretisierung (auf Basis von AP 3 der Phase 1) auf große und block-strukturierte MINLPs führen. Die Größe der Teilgraphen und der kontinuierlichen Zeithorizonte soll dabei so gesteuert werden, dass die resultierenden endlich-dimensionalen MINLPs in der Praxis global optimal lösbar sind. Die Teilprobleme beinhalten jeweils Ventile, Kompressoren und andere Steuerungselemente, sodass die Kommunikation zwischen den Teilnetzen ausschließlich über Transmissionsknoten erfolgt. Das Prinzip der raum-zeitlichen Zerlegung wurde bereits für hyperbolische Gleichungen und Systeme in der Literatur beschrieben. Diese Literatur beinhaltet a posteriori Abschätzungen, die es gestatten, die Zerlegung adaptiv zu gestalten. Das in AP 1 zu entwickelnde Verfahren für die Zeitbereichszerlegung kann dabei auf verschiedene Weise realisiert werden. Es besteht die Absicht, die zeitliche Zerlegung in kontinuierliche Teilintervalle mit einer iterativen Zeitbereichszerlegung zu realisieren und diese mit einer nichtüberlappenden Gebietszerlegung des Graphen in Teilgraphen zu kombinieren. Als Ergebnis dieser Bereichszerlegungen in Ort und Zeit bleiben dann zeitabhängige Optimalsteuerungsprobleme auf kleineren Ort-Zeit-Würfeln zu lösen. Hierfür wollen wir dem discretize-then-optimize-Paradigma folgen und eine vollständige Orts- und Zeitdiskretisierung der Bereiche durchführen. Die resultierenden endlich-dimensionalen MINLPs selbst sind Gegenstand des zweiten und dritten Arbeitspakets. Die zugrunde liegenden Nebenbedingungen sind von block-strukturierter Diagonalform mit zusätzlichen Zeilen zur Kopplung der Zeitschritte. Mit dieser Form gibt es sowohl zahlreiche Erfahrungen im linearen Kontext als auch Vorarbeiten im Kontext stationärer Gasnetzoptimierung. Beides soll für die Erforschung des nichtlinearen und instationären Falles eingebracht werden. Im zweiten Arbeitspaket wird für den vollständig diskretisierten und damit endlich-dimensionalen Fall untersucht, wie sowohl die zeitliche Struktur als auch die Struktur der Steuerungen algorithmisch im Rahmen von dekompositionsbasierten Penalty-Verfahren ausgenutzt werden können. Dieselben diskretisierten MINLPs sollen im dritten Arbeitspaket mit den Erfahrungen aus der ersten Phase zunächst durch MIP-Relaxierungen ersetzt werden. Anschließend soll untersucht werden, ob das MIP eines Zeitschrittes auf den nachfolgenden Zeitschritt projiziert werden kann. Sollte das gelingen, kann ein in der Zeit iteratives Verfahren aufgesetzt werden. Dies würde es im idealen Fall erlauben, das sehr hoch-dimensionale zu lösende Gesamt-MIP auf die sequentielle Lösung von MIPs der Größenordnung jeweils eines Zeitschrittes zu reduzieren.

A07: Kombinatorische Netzwerkflussmethoden für instationäre Gasflüsse und Gasmarktprobleme

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Max Klimm

Prof. Dr. Marc Pfetsch

Rico Raber

Prof. Dr. Martin Skutella

Das Teilprojekt untersucht effiziente Netzwerkflussmethoden zur Optimierung der Kapazitätsauslastung in Gasnetzen. Aufbauend auf strukturellen Einsichten und Algorithmen zur Berechnung instationärer Flüsse in zeit-expandierten Netzen werden (Approximations-)Algorithmen zur robusten und Online-Optimierung von Gasnetzen sowie Mechanismen zur Vergabe der Kapazitäten über Auktionen entwickelt.

Teilbereich B: Modelladaption und -kopplung

B01: Adaptive Dynamische Multiskalenansätze

Ansprechpartner:

Dr. Pia Domschke

Prof. Dr. Jens Lang

Elisa Strauch

Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung eines durchgängigen, dynamischen Multiskalenansatzes für die numerische Lösung der kompressiblen, instationären Euler-Gleichungen auf Netzwerkstrukturen. Diese Methoden sollen bei der Beschreibung des stochastischen Verhaltens von praktisch relevanten Ausgabegrößen bezüglich randomisierten Parametern in hyperbolischen Differentialgleichungen (Quantifizierung von Unsicherheiten), der Konstruktion von reduzierten Modellen und bei einer adaptiven Multilevel-Optimierung für Gasnetzwerke verwendet werden. In der ersten Projektphase standen Modellierungsaspekte und die Entwicklung von adaptiven Diskretisierungen im Vordergrund. Dabei werden adaptive räumliche und zeitliche Diskretisierungen mit Modellen einer neu entwickelten Modellhierarchie kontrolliert und miteinander verknüpft, um eine effiziente Simulation des Gasnetzwerkes über den gesamten Zeithorizont bezüglich einer vorgegebenen Genauigkeit zu ermöglichen.
In der zweiten Projektphase wird der Einfluss von dynamischen Marktfluktuationen, die durch randomisierte Anfangs- und Randbedingungen beschrieben werden können, auf Zielfunktionen und Spielräume bei der optimalen Steuerung von Gasnetzwerken im Rahmen einer Quantifizierung von Unsicherheiten untersucht. Dafür sollen adaptive stochastische Kollokationsmethoden mit multilevel-artigen Verfahren zur Varianz-Reduzierung verwendet werden. Der durchgängige Einsatz von Multilevel-Methoden in Ort-Zeit-Modell und stochastischen Komponenten führt unter Ausnutzung von Auflösungshierarchien in den jeweiligen Approximationen (Raum, Zeit, Modell, Stochastik) zu einer Reduktion der Rechenzeiten. Die stochastische Kollokation wird mit anisotropen, dünnen Smolyak-Gittern realisiert. Die damit verbundene natürliche Sampling-Strategie erlaubt den Einsatz von reduzierten, struktur-erhaltenden Modellen, um den Rechenaufwand auch perspektivisch für sehr große Netzwerke weiter zu reduzieren. Es ist das Ziel, adaptive Gitter- und Modellverfeinerungen mit adaptiven stochastischen Kollokationsmethoden zu verknüpfen, um die Multilevel-Methoden zu verbessern und rigorose Qualitätsvorgaben an Erwartungswerte und Varianzen von Lösungsfunktionalen für die Quantifizierung von Unsicherheiten mit reduziertem Rechenaufwand zu erreichen.

B02: Mehrzieloptimierung mit Gleichgewichtsrestriktionen am Beispiel von Gasmärkten

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Michael Hintermüller

Dr. Olivier Huber

Ziel ist die mathematische Beschreibung von Märkten, die mit physikalischen Prozessen gekoppelt sind, um ökonomische Fragestellungen wie nach dem Verhalten der Marktteilnehmer oder nach optimaler Transportnetz-Auslastung beantworten zu können. Dabei stehen die Analyse von verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen unter Einbezug der physikalischen Prozesse sowie Zustands- und Steuerungsrestriktionen, deren effiziente numerische Behandlung sowie die Betrachtung risikoaverser Agenten unter Unsicherheiten verschiedener Eingabegrößen im Vordergrund.

B03: Geregelte Kopplung von gemischt ganzzahlig-kontinuierlichen port-Hamiltonischen Netzwerk-Modellen

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Volker Mehrmann

Riccardo Morandin

Ziel des Projekts ist die Entwicklung einer neuen Methodik zur netzwerkartigen Verkopplung von mathematischen Modellen, die mit unterschiedlicher Modellgüte vorliegen und auf unterschiedlichen Skalen agieren. Dazu soll ein systemtheoretischer Zugang über eine Modellierung als port-Hamiltonisches (pH) System von differentiell-algebraischen Gleichungen realisiert werden. Ein zweiter Schwerpunkt ist die datenbasierte Erstellung von pH Surrogatmodellen, z.B. für Kompressorstationen, die als Ersatzmodule in die Modellhierarchie eingebaut werden können, sowie die strukturierte Einbeziehung von schaltenden Modellkomponenten (wie Ventilen). Ein dritter Schwerpunkt ist die Entwicklung von Methoden zur strukturerhaltenden Modellreduktion der einzelnen Komponenten und des Gesamtnetzwerks, inklusive einer entsprechenden Fehlerabschätzung.

B04: Wahrscheinlichkeitsrestriktionen in Gasmarktmodellen

Ansprechpartner:

Dr. Holger Heitsch

PD Dr. René Henrion

Das Teilprojekt widmet sich der Berücksichtigung von Unsicherheiten, vornehmlich Verbraucherlasten, in Gastransportproblemen mittels Wahrscheinlichkeitsrestriktionen. Diese ermöglichen die Findung optimaler und zugleich im Sinne der Wahrscheinlichkeit robuster Entscheidungen. Das Hauptaugenmerk wird künftig mathematisch auf der Einbettung solcher Restriktionen in Gleichgewichtsproblemen (MPECs) liegen. Hierdurch soll die Modellierung von Gasmarktmodellen um die Bedingung einer robusten Lastdeckung ergänzt werden. Dies erfordert sowohl eine theoretische Strukturanalyse wie auch eine angepasste Algorithmenentwicklung.

B05: Stochastische Optimierung beim Gastransport

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Rüdiger Schultz

Kai Spürkel

Ziel ist der Ausbau einer in Phase 1 hergeleiteten allgemeinen, prinzipiell numerisch verwertbaren Charakterisierung der Validität von Nominierungen für immer stärker vermaschte, zufallsbehaftete Gasnetze. Dabei wird an erste Untersuchungen unter Einbeziehung neuerer Resultate des symbolischen Rechnens (Comprehensive Gröbner Systems) angeknüpft. Darüber hinaus werden Ansätze zur risikoaversen Optimierung in zufallsbehafteten Gasnetzen mit Netzbeschränkungen und unterschiedlichen Marktmodellen z.B. mit Nodalpreissystem oder ohne, entwickelt.

B06: Robuste Gasnetzwerkoptimierung

Ansprechpartner:

Martina Kuchlbauer

Prof. Dr. Frauke Liers

Prof. Dr. Michael Stingl

Im Zentrum der Arbeiten von B06 stehen die Modellierung robuster Optimierungsprobleme in Gasnetzen, deren theoretische Analyse und die Entwicklung geeigneter Lösungsverfahren. Aufbauend auf Erkenntnissen aus Phase I für den stationären Fall, werden die zweistufig robusten Optimierungsprobleme für unsichere Bedarfe als auch für unsichere physikalische Parameter mittels eines Dekompositionsansatzes behandelt. Über diesen Ansatz werden Erweiterungen bezüglich Instationarität und gekoppelt robust-stochastischer Optimierungsprobleme möglich, die in der zweiten Phase verstärkt in den Blick genommen werden sollen. Marktaspekte werden über die Wohlfahrtsoptimierung im Nodalpreissystem mit einbezogen.

B07: MIP-Techniken für Gleichgewichtsmodelle mit Ganzzahligkeitsrestriktionen

Ansprechpartner:

Lukas Hümbs

Prof. Dr. Alexander Martin

In diesem Teilprojekt werden Techniken entwickelt, um Gleichgewichtsprobleme mit Ganzzahligkeitsrestriktionen mit MIP-Techniken zu lösen. Hierzu werden zunächst gemischt-ganzzahlig lineare, später gemischt-ganzzahlig nichtlineare Optimierungsprobleme als Teilprobleme betrachtet. Zur Lösung dieser Probleme werden sowohl vollständige Beschreibungen wie auch verallgemeinerte KKT-Sätze für gemischt-ganzzahlig nichtlineare Optimierungsprobleme studiert.

B08: Mehrstufige gemischt-ganzzahlig nichtlineare Optimierung für Gasmärkte

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Veronika Grimm

Thomas Kleinert

Prof. Dr. Martin Schmidt

Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung mathematischer Methoden zur Lösung mehrstufiger, gemischt-ganzzahliger und nichtlinearer Optimierungsmodelle für Gasmärkte. Hierbei steht ein genuin vierstufiges Modell des Entry-Exit-Systems im Vordergrund, das als Bilevel-Problem reformuliert werden kann. Die mathematischen und algorithmischen Entwicklungen werden dann genutzt, um Marktlösungen im Entry-Exit-System zu charakterisieren und mit Systemoptima zu vergleichen. Besonderes Augenmerk gilt dabei optimalen Buchungspreisen für Entry- oder Exit-Kapazität.

B09: Strategische Buchungsentscheidungen im Entry-Exit-System

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Alexandra Schwartz

Ann-Kathrin Wiertz

Prof. Dr. Gregor Zöttl

Ziel dieses Teilprojekts ist die Entwicklung von Methoden zur Untersuchung strategischer Interaktion bei Angebotsentscheidungen in Gasmärkten mithilfe mehrstufiger Optimierungsmodelle. Als Ausgangspunkt dient ein Modell des Entry-Exit-Systems in Gasmärkten mit einer Fokussierung auf strategische Buchungs- und Nominierungsentscheidungen von Gasanbietern.
Die resultierende zweistufige strategische Interaktion kann als Gleichgewichtsproblem mit Gleichgewichtsrestriktionen (EPEC) formuliert werden. In diesem Marktspiel wählt jeder Marktteilnehmer seine Strategie unter Berücksichtigung der von den anderen Anbietern zeitgleich getroffenen Entscheidungen und unter Berücksichtigung von zeitlich nachgelagerten Entscheidungen. Das zu betrachtende EPEC beschreibt also ein Spiel, bei dem jeder einzelne Spieler ein zweistufiges Optimierungsproblem, genauer ein mathematisches Programm mit Gleichgewichtsrestriktionen (MPEC) lösen muss. Unter Ausnutzung der spezifischen Struktur des resultierenden EPECs sollen passgenaue Algorithmen zur Berechnung der Marktgleichgewichte entwickelt und Rahmenbedingungen identifiziert werden, welche die Existenz und Eindeutigkeit des Marktgleichgewichts sicherstellen. Die theoretischen und algorithmischen Ergebnisse werden schließlich genutzt, um die Auswirkung strategischer Interaktion auf Buchungspreise und Marktergebnisse abzuschätzen und die Abhängigkeit der Lösungen von Marktstruktur und Marktdesign zu untersuchen.

B10: Gemischt-ganzzahlig nichtglatte Optimierung für Gasmarktprobleme

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Andrea Walther

Ziel des Projekts ist die Entwicklung eines neuen Algorithmus zur Lösung von beschränkte, stückweise glatte Optimierungsproblemen mit Ganzzahligkeitsbedingungen voranzutreiben. Dazu muss zunächst der Ansatz für die unbeschränkte, nichtglatte Optimierung theoretisch fundiert um die Behandlung von linearen Nebenbedingungen ergänzt werden. Dies erfordert eine umfangreiche Modifikation des Algorithmus zur Lösung der durch die abs-Linearisierung entstandenen Unterprobleme und damit verbunden die Analyse der resultierenden Konvergenzeigenschaften. Danach ist zur angepassten Berücksichtigung von nichtglatten Nebenbedingungen  eine Penalty-Strategie für Komplementaritätsbedingungen zu untersuchen, wobei die auftretende Nichtglattheit bei der numerischen Lösung explizit auszunutzen ist. Drittens sollen erste Ansätze zur Behandlung von Ganzzahligkeiten erarbeitet werden. Die in diesem Projekt vorgesehene Forschung zu Optimierungsverfahren, welche auf der abs-Linearisierung aufbauen, ist durch Anwendungen sowohl im Bereich des Gasmarkts als auch durch Fragestellungen des Gastransports motiviert.