Teilprojekte

des SFB TRR 154 in Phase 1 (2014 - 2018)

Teilbereich A: Ganzzahlig-kontinuierliche Methoden

A01: Globale Methoden für stationären Gastransport

Ansprechpartner:

Oliver Habeck

Prof. Dr. Marc Pfetsch

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

In diesem Teilprojekt sollen adaptive Methoden für die globale Lösung von nichtlinearen ganzzahligen Optimierungsproblemen mit ODEs entwickelt werden. Dies soll am Beispiel von stationärem Gastransport geschehen. Ein Ziel ist die globale Entscheidung über die Optimalität bzw. Zulässigkeit in solchen Optimierungsproblemen. Die globale Behandlung großer Instanzen ist schwierig und erfordert die Entwicklung neuer und die geschickte Kombination existierender mathematischer Methoden.
Eine Motivation für die betrachteten Optimierungsprobleme ist die langfristige Planung des Betriebs von Gastransportnetzen, also die Frage, ob eine gegebene Gasmenge von Ein- zu Ausspeisepunkten transportiert werden kann. In diesem Kontext behandeln wir zunächst stationäre Gasflüsse. Der Modellierungs-Ausgangspunkt sind die stationären Euler-Gleichungen, welche mit adaptiven Techniken behandelt werden sollen. Hinzu kommen Flusserhaltungsgleichungen an Verzweigungen und nichtlineare Beschreibungen von Verdichter(stationen), sowie ganzzahlige Entscheidungen, beispielsweise bei Schiebern und Ventilen. Zusammen ergibt dies ein ganzzahlig-kontinuierliches Zulässigkeitsproblem für ein gekoppeltes System aus differentiellen und algebraischen Gleichungen.
Zur Lösung solcher Probleme muss zunächst eine Vereinfachung bzw. Approximation des Systems durch eine grobe Diskretisierung und/oder Modellreduktion stehen, die dann schrittweise verfeinert wird. Hierbei sollen a priori Fehlerschätzer eingesetzt werden. Ganzzahlige Entscheidungen bzw. Nichtkonvexitäten sollen durch Variablen-Branching bzw. Spatial-Branching behandelt werden. Von besonderem Interesse ist die adäquate Kombination von Branchingmethoden mit adaptiven Techniken für die Diskretisierung.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A01(Phase1) ist hier zu finden.

A02: Adaptive Multilevelverfahren für die Optimierung von hyperbolischen PDE-Modellen für Gasnetzwerke

Ansprechpartner:

Johann Michael Schmidt

Prof. Dr. Stefan Ulbrich

Das Ziel dieses Teilprojektes ist die mathematische Analyse der Optimalsteuerung von hyperbolischen Differentialgleichungssystemen mit Zustandsschranken am Beispiel von instationären hyperbolischen PDE-Modellen für Gasnetzwerke.
Die Gasströmung wird hierbei durch die kompressiblen Euler-Gleichungen beschrieben und Netzwerkkomponenten wie Verzweigungen, Kompressoren, Ventile und Druckregler werden durch geeignete Knoten- bzw. Randbedingungen modelliert. In der Modellhierarchie des TRR 154 gehört dieser Ansatz zu den hochauflösenden Beschreibungen und dient der Ableitung und Validierung vereinfachter Modelle sowie als effiziente Optimierungskomponente für Teilnetze, die im aktuellen Betrieb einer genauen Betrachtung bedürfen.
Durch die zeitabhängige Steuerung von Verdichtern und Ventilen soll die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung des transportierten Gases unter Nebenbedingungen optimiert werden. Eine wichtige Anforderung besteht darin, dass der Druck im gesamten Gasnetzwerk in einem gewissen Toleranzbereich liegen muss.
Wir betrachten schwache Entropielösungen mit beschränkter Variation (BV-Lösungen) für die hyperbolischen Zustandsgleichungen, da die globale Existenz von klassischen Lösungen aufgrund von Schaltvorgängen nicht gesichert ist. Dies führt zu einem komplexen Optimalsteuerungsproblem für BV-Lösungen auf einem Netzwerk von nichtlinearen hyperbolischen Gleichungen, deren Steuerung und Zustand punktweisen Ungleichungsbeschränkungen unterliegen.
Unsere Hauptziel ist die rigorose Optimierungstheorie auf Basis geeigneter Regularisierung, um die fundierte Grundlage für adaptive Multilevel-Optimierungsverfahren zu legen.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A02(Phase1) ist hier zu finden.

A03: Gemischt ganzzahlig-kontinuierlich dynamische Systeme mit partiellen Differentialgleichungen

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Falk Hante

Prof. Dr. Günter Leugering

Fabian Rüffler

Im Projekt wird Steuerungstheorie zur Behandlung hybrider dynamischer Systeme entwickelt, die sich aus der Modellhierarchie für Gas-Netzwerke bis hin zum Level der isothermalen Eulergleichungen für Pipelines und der Interaktion mit diskreten Netzwerkkomponenten wie An/Aus-Klappen, -Ventile, -Kompressoren zusammensetzen. Der Forschungsschwerpunkt liegt bei der Entwicklung mathematischer Grundlagen und soll Fragen u.a. zur Regularität und Sensitivität von Lösungen für hyperbolische PDEs in Interaktion mit ganzzahligen Entscheidungen beantworten. Die größten Herausforderungen sind die Formulierung geeigneter Lösungskonzepte und deren mathematische Abstraktion mit Blick auf Topologisierbarkeit und Darstellungen von Sensitivitäten von Events mit adjungierten Methoden. Im Fall zustandsabhängiger Schaltregeln sind Zeno-Effekte zu berücksichtigen. Neben Beiträgen zu den genannten theoretischen Grundlagen erwarten wir lokal konvergente numerische Methoden durch Einbettung der Sensitivitätsformel in ableitungsbasierte Optimierungsmethoden zur effizienten Lösung gemischt-ganzzahliger Optimalsteuerungsprobleme auf dem Level von PDE-Gasdynamik.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A03(Phase1) ist hier zu finden.

A04: Kombinatorisches Schalten zur Steuerung von Gasflüssen

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Martin Grötschel

Dr. Benjamin Hiller

Prof. Dr. Caren Tischendorf

Tom Walther

Das Ziel dieses Teilprojektes ist die Entwicklung algorithmischer Grundlagen zur effizienten Behandlung von Schaltentscheidungen in Gasnetzen. Dies beinhaltet insbesondere die Modellierung und Algorithmik der Schaltvorgänge in Verdichterstationen, da diese eine wesentliche Quelle für Modellierungs- und Laufzeitkomplexität darstellen.
Die Menge der zulässigen Arbeitspunkte einer Verdichterstation ist in der Regel nichtkonvex, unter Umständen sogar nichtzusammenhängend, kann jedoch in guter Näherung durch eine Vereinigung konvexer Polyeder beschrieben werden. Daher ist die Behandlung solcher Strukturen innerhalb von MIPs und MINLPs der zentrale Forschungspunkt in diesem Teilprojekt. Wenngleich die zu entwickelnden Methoden durch die Optimierung von Gasnetzwerken motiviert sind, sind diese in einem viel allgemeineren Kontext relevant.
Bekannte Techniken zur Modellierung von Vereinigungen von Polyedern als zulässige Menge eines MIPs beruhen auf der Ungleichungsbeschreibung der Einzelpolyeder. Im Gegensatz dazu kann ein anderer Ansatz betrachtet werden, der an die geometrischen Eigenschaften der Gesamtmenge angepasst ist. Insbesondere ist das Ziel, eine hierarchische Beschreibung einer nichtkonvexen Menge zu finden und zu untersuchen, die auf jeder Ebene eine möglichst gute polyedrische Relaxierung liefert. Diese Hierarchie kann dann im Rahmen von Branch-and-Bound-Verfahren bei der Lösung von MINLPs zusammen mit geeigneten Branchingstrategien genutzt werden.
Langfristig zielt dieses Teilprojekt des SFB/TRR 154 auf die Entwicklung echtzeitfähiger Verfahren für kombinatorische Entscheidungen. Da bei der transienten Steuerung von Gasnetzen sukzessive viele ähnliche MIPs/MINLPs zu lösen sind, rücken auch Reoptimierungstechniken ins Blickfeld, die bereits bekannte Informationen aus dem Lösungsprozess vorhergehender Optimierungsprobleme nutzen, um die Rechenzeit zu verringern. Dazu ist eine detaillierte Analyse der Problemstruktur sowie ein tieferes Verständnis des komplexen MIP/MINLP-Lösungsprozesses von essentieller Bedeutung.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A04(Phase1) ist hier zu finden.

A05: Dekompositionsmethoden für ganzzahlig-kontinuierliche Optimalsteuerung

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Günter Leugering

Prof. Dr. Alexander Martin

Mathias Sirvent

Ziel ist die Entwicklung mathematischer Verfahren zur Lösung ganzzahlig-kontinuierlicher Optimal-steuerungsprobleme auf Transportnetzwerken mittels Dekompositionsmethoden. Mit Blick auf eine maximale Synergie im TRR 154 wird der Fokus auf Gastransportnetze gelegt, gleichwohl sollen die zu entwickelnden Methoden und Verfahren auch vor dem Hintergrund von Frisch-/Abwasser und anderen Energienetzwerken betrachtet werden und validierbar sein.
Hierbei werden sowohl die Optimierungsprobleme in Bezug auf die Variablen, als auch die Modelle mit Blick auf Teilsysteme so dekomponiert, dass ein zeitexpandiertes MINLP mit hierarchischer Struktur entsteht. Auf der obersten Hierarchieebene stehen ganzzahlige, auf der untersten kontinuierliche Variablen im Mittelpunkt. Für eine numerische Realisierung werden schließlich
die kontinuierlichen Variablen diskretisiert. Diese Strukturierung spannt den Bogen von volldiskreten MINLPs bis zu PDE-basierten MINLPs im Banachraum.
Während zu Beginn des Projekts vorhandene Finite-Volumen-Verfahren für die Simulation der Gasgleichungen angepasst und verwendet werden, sollen im Zuge des Fortschritts Verfahren aus dem Bereich C02 integriert werden. Entsprechendes gilt für die Einbeziehung eines MINLP-Lösers aus dem Teilprojekt B07.
Der Schwerpunkt des Teilprojekts liegt somit auf der mathematischen Analyse strukturierter MINLPs vor dem Hintergrund hierarchischer Modelle. Während das Vorgehen vieler klassischer Dekompositionsverfahren wie Benders, Outer Approximation oder dual dazu Dantzig-Wolfe darin besteht, das Master-Problem mittels geeigneter Schnittebenen,im Subproblem generiert werden, so zu verschärfen, dass die Zielfunktionswerte des Masters (duale Schranke) und des Subproblems (primale Schranke) konvergieren, soll in diesem Teilprojekt dem Subproblem zusätzlich die Möglichkeit gegeben werden, Disjunktionen an den Master zu geben. Damit besteht grundsätzlich die Möglichkeit, auch nicht-konvexe Optimalsteuerungsprobleme zu einer globalen Optimalität zu führen.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A05(Phase1) ist hier zu finden.

A07: Effiziente Netzwerkflussmethoden für instationäre Gasflüsse

Ansprechpartner:

Dr. Martin Groß

Prof. Dr. Marc Pfetsch

Prof. Dr. Martin Skutella

Ziel dieses Teilprojekts ist es, die Anwendbarkeit der Netzwerkflusstheorie auf vereinfachte Modelle von Gasnetzen und damit verwandten Transportnetzen zu studieren. Die Netzwerkflusstheorie hat sich als wertvolles und schlagkräftiges Werkzeug zur Lösung komplexer Probleme in vielen verschiedenen Anwendungsfeldern erwiesen. Beispielhaft seien hier Verkehrsnetze, Telekommunikationsnetze und Netzwerke in der Logistik genannt, die mit Hilfe von Netzwerkflussalgorithmen entworfen und betrieben werden können, da diese dank ihres effizienten Laufzeitverhaltens auch für die in der Praxis auftretenden großen Probleminstanzen in vertretbarer Zeit Lösungen liefern. In diesem Teilprojekt wird untersucht, inwieweit die Netzwerkflusstheorie Beiträge zur Lösung der bei Gasnetzen und ähnlichen Transportnetzen auftretenden Probleme leisten kann.
Die herkömmliche Netzwerkflusstheorie reicht zwar zur Beschreibung von Gasnetzen nicht aus, da sie keine Drücke in Knoten vorsieht, und auch den nichtlinearen Zusammenhang des Flusses von den Drücken nicht unmittelbar darstellen kann. Andererseits sind etliche in Gasnetzen auftretende Probleme in ähnlicher Form auch in der Netzwerkflusstheorie bekannt und gut verstanden, wie etwa bei längenbeschränkten oder verallgemeinerten Flüssen. Auch sind nichtlineare Zusammenhänge in anderen Aspekten, wie etwa der Flussgeschwindigkeit in Verkehrsnetzen, studiert und zufriedenstellend gelöst worden.
Als Ausgangsbasis für die Entwicklungen unserer Modelle dient ein auf den Weymouth-Gleichungen basiertes Modell, was mit Hilfe konvexer Minimalkostenflüsse gelöst werden kann. Dieses Flussmodell und seine Lösungsverfahren können vom stationären auf den instationären Fall verallgemeinert werden, analog wie in der Netzwerkflusstheorie aus klassischen Netzwerkflüssen dynamische Netzwerkflüsse entwickelt wurden. Zur (approximativen) Lösung dynamischer Netzwerkflüsse existieren nützliche Methoden aus der Netzwerkflusstheorie, wie z.B. adaptiv zeitexpandierte Netzwerke, die sich durch ein breites Anwendungsspektrum auszeichnen.
Diese Techniken sollen in diesem Teilprojekt für instationäre Gasflüsse nutzbar gemacht werden.
Gasnetze enthalten üblicherweise eine Reihe von aktiven Elementen - Schieber, Regler, Verdichter, etc. - die ganzzahlige Entscheidungen beinhalten, und die einen entscheidenden Einfluss auf den Gasfluss haben. Dementsprechend müssen diese Elemente im Netzwerkflussmodell berücksichtigt werden. Dazu können zum einen Branch-and-Bound basierte Techniken, und zum anderen Adaption von Methoden aus dem Netzwerkdesign verwendet werden.
Für Branch-und-Bound-Techniken ist es entscheidend, unzulässige Lösungen möglichst früh identifizieren zu können. In Gasnetzen entspricht dies z.B. der Erkennung von Teilkonfigurationen von aktiven Elementen, die Unzulässigkeit implizieren. Daher wird die Analyse von Unzulässigkeit ein Schwerpunkt der Forschung in diesem Teilprojekt sein.
Durch diese Entwicklung von effizienten Modellen und Lösungsverfahren für Gasnetze und der Charakterisierung von Unzulässigkeit in diesen Modellen wird dieses Teilprojekt zu Demonstrator 1 beitragen, mit einem Fokus auf großen Gasnetzen.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu A07(Phase1) ist hier zu finden.

A08: Diskretisierungsfehler robuste gemischt ganzzahlig-kontinuierliche Optimierung

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Winnifried Wollner

Susanne Beckers

Das Projekt befasst sich mit der a-posteriori Fehlerschätzung in der gemischt ganzzahlig-kontinuierlichen Optimierung. Schwerpunkt der Forschung im Projekt ist hierbei die Robustheit der diskreten Entscheidungen gegenüber Diskretisierungsfehlern. Im Gegensatz zur Robustheit gegenüber Unsicherheiten die erst ex-postrealisiert werden sind Diskretisierungsfehler im Rahmen der Simulation-/Optimierung durch entsprechend höheren Rechenaufwand grundsätzlich reduzierbar.
In der kontinuierlichen Optimierung kann deshalb der Fehler in den Entscheidungen durch Erhöhung des Rechenaufwandes beliebig verringert werden. Da ganzzahlige Optimierungsentscheidungen jedoch generisch nicht stetig von den Daten abhängen ist eine entsprechende Aussage nicht erwartbar. Die Kernfrage dieses Projektes ist daher unter welchen Bedingungen eine ganzzahlige Entscheidung, welche anhand einer diskretisierten Gleichung getätigt wurde, auch ohne Diskretisierungsfehler ebenso getroffen worden wäre, diese also robust gegenüber der Diskretisierung ist.
Im Kontext von Gasnetzwerken, kann diese Problematik bereits an einem einzigen Rohr mit angeschlossener Kompressorstation demonstriert werden. Ist hierbei der Ausgangsdruck bei ausgeschaltetem Kompressor sehr nahe an dem vorgegebenen Minimaldruck, so können bereits kleinste Diskretisierungsfehler eine fehlerhafte Entscheidung, hinsichtlich der Frage ob der Kompressor benötigt wird, erzeugen. Mit den im Projekt zu entwickelnden Methoden soll es nun möglich sein zu entscheiden, ob ein solcher Fall vorliegt, oder sicher ausgeschlossen werden kann.

Teilbereich B: Modelladaption und -kopplung

B01: Adaptive Dynamische Multiskalenansätze

Ansprechpartner:

Dr. Pia Domschke

Prof. Dr. Jens Lang

Pascal Mindt

Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung eines durchgängigen, dynamischen Multiskalenansatzes für die numerische Lösung der kompressiblen, instationären Euler-Gleichungen auf Netzwerkstrukturen. Die Hauptbestandteile eines Gasnetzwerks sind Rohrleitungen, Verdichterstationen und Ventile zur Regulierung des Gasflusses. Die Modellierung des Gastransports erfolgt durch die eindimensionalen Euler-Gleichungen, ein Bilanzsystem nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen. Algebraische Gleichungen modellieren das Verhalten von Verdichtern, Ventilen und den Gasfluss an Verzweigungsstellen. Das Gesamtsystem muss mit adäquaten Anfangs-, Kopplungs- und Randbedingungen versehen werden. Dabei wächst die Komplexität des Gesamtsystems erheblich mit der Größe des Netzwerks. Eine effiziente und fehler-kontrollierte Simulation praxisrelevanter Gasnetzwerke bei gegebenen Input-/Output-Parametern unter möglichst genauer Einhaltung von Toleranzgrenzen ist der Schlüssel für eine multilevel-basierte echtzeitfähige Optimierung. Dabei ist es das Ziel, möglichst viele Optimierungsschritte auf groben Diskretisierungen und nur wenige finale Schritte mit feinen Modellen auf hoch aufgelösten Gittern auszuführen, was ein enormes Einsparpotential impliziert. In diesem Projekt soll dafür die geeignete Simulationsplattform entwickelt werden.
In Rohrbereichen mit geringerer Dynamik können vereinfachte physikalische Modelle verwendet werden, die in natürlicher Weise eine Modellhierarchie bilden. Der Vereinfachungsgrad reicht von nichtlinearen und semilinearen partiellen Differentialgleichungen über gewöhnliche Differentialgleichungen bis hin zu algebraischen Relationen zur Beschreibung eines stationären Gasflusses. Dabei sollen adaptive räumliche und zeitliche Diskretisierungen mit den Modellen einer Modellhierarchie kontrolliert und miteinander lokal verknüpft werden, um eine effiziente Simulation des Gesamtnetzwerks über den gesamten Zeithorizont bezüglich einer vorgegebenen Genauigkeit zu ermöglichen. Dafür werden mit Hilfe eines durchgängigen Adjungiertenkalküls a posteriori Fehlerschätzer im Rahmen der dual gewichteten Residuenmethode entwickelt, um das dynamische Umschalten von feinskaligen auf grobskalige Ebenen zu realisieren. Die notwendigen Strategien sollen vom bereits gut verstandenen isothermen Fall auf die allgemeinen temperaturabhängigen Euler-Gleichungen erweitert werden und zunächst für Teilnetze kleiner und mittlerer Größe getestet werden.
Als zentrale Diskretisierungmethode wird ein bereits von uns erfolgreich verwendetes implizites Boxverfahren auf die vollen Euler-Gleichungen erweitert. Implizite Verfahren sind stabil unabhängig von lokalen CFL-Zahlen und der Steifheit der Reibungsterme. Damit liefern sie die notwendige Flexibilität für eine stabile Verknüpfung von räumlich-, zeitlich- und modell-adaptiven Diskretisierungen.
Es ist ebenso das Ziel in diesem Projekt, Schnittstellen zur Realisierung einer Ankopplung an ableitungsbasierte Optimierungsalgorithmen zu entwickeln. Diese sollen zu Zulässigkeitsprüfungen für ganzzahlig-kontinuierliche Optimierungsprobleme und zur Berechnung von zulässigen Lösungen genutzt werden. Die im Kontext der dual gewichteten Residuenmethode zu berechnenden diskreten Adjungierten bilden hier das natürliche Bindeglied.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B01(Phase1) ist hier zu finden.

[1] P. Domschke, B. Geißler, O. Kolb, J. Lang, A. Martin, and A. Morsi. Combination of nonlinear and linear optimization of transient gas networks. INFORMS Journal on Computing, 23(4):605–617, 2011.

[2] P. Domschke, O. Kolb, and J. Lang. Adjoint-based control of model and discretisation errors for gas flow in networks. Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation, 2(2):175–193, 2011.

[3] O. Kolb, J. Lang, and P. Bales. An implicit box scheme for subsonic compressible flow with dissipative source term. Numerical Algorithms, 53(2):293–307, 2010.

B02: Parameteridentifikation, Sensorlokalisierung und Quantifizierung von Unsicherheiten mit schaltenden Systemen von PDEs

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Michael Hintermüller

Dr. Nikolai Strogies

Assoziiert: Prof. Dr. Thomas Surowiec

Das Teilprojekt beschäftigt sich mit Aspekten der Modellierung sowie der Konzeption und Analyse von robusten numerischen Methoden für die Lösung inverser Probleme mit schaltenden (beziehungsweise hybriden) Systemen partieller Differentialgleichungen auf Graphen. In diesem Kontext repräsentiert der Graph ein Transportnetzwerk für bestimmte Materialien oder Rohstoffe. Entsprechend der Ausrichtung des Sonderforschungsbereiches (SFB) liegt hierbei der Schwerpunkt auf Netzwerken für den Transport von (natürlichem) Gas. Das Projekt verfolgt mehrere Forschungsziele:

  • die Identifikation von unbekannten Parametern (wie zum Beispiel den Rohrreibungskoeffizienten) und die Erkennung von Systemanomalien (wie etwa Lecks);
  • die optimale Verteilung von Sensoren im Transportnetzwerk, um die Identifikationsaufgaben zu robustifizieren
  • die Quantifizierung von Unsicherheiten in den identifizierten Parametern beziehungsweise in weiteren statistisch relevanten Größen.

Die Zusammenarbeit mit anderen Teilprojekten des SFB erstreckt sich auf die (restringierte) optimale Steuerung von hyperbolischen beziehungsweise hybriden Systemen, die numerische Betrachtung solcher Probleme sowie auf numerische Methoden für die Identifikation des Rohrreibungskoeffizienten. Für die Modellhierarchie, die im SFB betrachtet wird, sollen relevante physikalische Parameter und statistische Informationen zur Verfügung gestellt werden, welche man durch das Lösen verschiedener Identifikationsprobleme erhält. Das Teilprojekt B02 ist Teil des Demonstrators D1.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B02(Phase1) ist hier zu finden.

B03: Geregelte Kopplung von gemischt ganzzahligkontinuierlichen Modellen mit modellierten Unsicherheiten

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Volker Mehrmann

Jeroen J. Stolwijk

Ziel des Projekts B03 ist die Entwicklung einer neuen Methodik zur Kopplung von sehr unterschiedlichen Modellen in einem Netzwerk. Zudem sollen Fehlersteuerungsmethoden auf der Basis modellierter Fehler und Unsicherheiten am Beispiel von Gasnetzwerken entwickelt werden. Ziel ist es die Fehler in Teilmodellen in der globalen Simulation zu balancieren. Zur Erreichung dieser Ziele werden Fehler- und Unsicherheitsmasse für jedes Teilmodell explizit modelliert und vergleichbar gemacht. Dieses passiert auf der Basis einer detaillierten Modellhierarchie, siehe Bild 1, in der alle Fehler in Simulation und Optimierung als Rückwärtsfehler in der feinsten Modellebene interpretiert werden. Diese Fehler auf der feinsten Modellierungsebene bilden die mathematische Grundlage für die Entwicklung robuster Verkopplungsregler. Dieser Regler soll eine globale Fehlerkontrolle erlauben, die in Hinsicht auf das Simulations- bzw. Optimierungsziel eine gewünschte Toleranz erreicht.

Abbildung 1: Modellhierarchie für Gastransport. Source: Domschke, P., Kolb, O. and Lang, J. (2011) 'Adjoint-based control of model and discretisation errors for gas flow in networks', Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation, Vol. 2, No. 2, pp.175-193.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B03(Phase1) ist hier zu finden.

B04: Nichtlineare Wahrscheinlichkeitsrestriktionen in Gastransportproblemen

Ansprechpartner:

Dr. Holger Heitsch

PD Dr. René Henrion

Ziel dieses Teilprojekts ist es, nichtlineare Wahrscheinlichkeitsrestriktionen unter Berücksichtigung der multivariaten und stetigen Verteilung von Zufallsparametern auf Optimierungsprobleme des Gastransports anzuwenden. Hierdurch soll eine gegenüber Zufallsparametern im Sinne der Wahrscheinlichkeit robuste Planung des Gastransports ermöglicht werden. Als geeignete mathematische Disziplin, welche Unsicherheiten mit Zufallscharakter Rechnung trägt, hat sich die stochastische Optimierung erwiesen, deren Ziel darin besteht, optimale Entscheidungen zu treffen, die im Sinne der Wahrscheinlichkeit robust gegen zufällige Störungen nomineller Parameterwerte sind. Unter verschiedenen Modellierungsvarianten spielen sogenannte Wahrscheinlichkeitsrestriktionen insbesondere in ingenieur-technischen Anwendungen eine herausragende Rolle.
Eine Lösung von Optimierungsproblemen unter nichtlinearen Wahrscheinlichkeitsrestriktionen mit stetigen, mutlivariaten Verteilungen ist in theoretischer und zumindest in interessanter Dimension auch in numerischer Hinsicht mathematisches Neuland. Im vorliegenden Teilprojekt handelt es sich darüberhinaus auch um implizite Wahrscheinlichkeitsrestriktionen, bei denen sich der Zusammenhang zwischen Entscheidung und Zufall erst über eine Gleichungskopplung mit zusätzlichen Variablen vermittelt. Gleichwohl die Gasnetzoptimierung bei stochastischen Ein- und Ausspeiselasten auf natürliche Weise die Fragestellung des Teilprojekts motiviert, haben die zu erwartenden mathematischen Erkenntnisse unmittelbare Bedeutung für andere Anwendungsfelder, namentlich für Optimierungsprobleme der Stromwirtschaft und besonders im Zusammenhang mit erneuerbaren Energien. Aber auch in Optimalsteuerungsproblemen mit stochastischen Zustandsbeschränkungen scheint eine Modellierung mittels impliziter Wahrscheinlichkeitsrestriktionen vielversprechend.
In einer ersten Phase soll das Teilprojekt für ein einfaches stationäres Gasnetzmodell (RNET-ISO4) mit zufälligen Ein- und Ausspeisungen relevante Optimierungsprobleme untersuchen, bei denen mit den gegebenen physikalischen Restriktionen der Fluss durch das Netz mit einer spezifizierten Mindestwahrscheinlichkeit realisiert werden kann. Perspektivisch kann die Modellierung eines zeitabhängigen Entscheidungsprozesses mit Hilfe dynamischer Wahrscheinlichkeitsrestriktionen sowie die Einbeziehung von binären Entscheidungsvariablen verfolgt werden.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B04(Phase1) ist hier zu finden.

B05: Stochastische Optimierung beim Gastransport

Ansprechpartner:

Dr. Ralf Gollmer

Sabrina Nitsche

Prof. Dr. Rüdiger Schultz

Dr. Claudia Stangl

Tobias Wollenberg

Die Ziele dieses Teilprojekts (TP) lauten: (i) Vertiefung des Verständnisses von Struktur und Algorithmik stationärer stochastischer Gasnetzmodelle und (ii) Entwicklung von Ansätzen zur Algorithmik für stochastische Gasnetzmodelle mit reduzierter (zeitdiskreter) Dynamik. Sie leiten sich daraus ab,bei unvollständiger bzw. probabilistischer Information (z.B. über Ein- und Ausspeisungen oder Verfügbarkeit von Netzkomponenten) die Gasnetzoptimierungsprobleme des Modellkatalogs schrittweise, von stationären Modellen ausgehend, zwecks mathematischer Fundierung zu analysieren und maßgeschneiderte Algorithmen für die entstehenden stochastischen Modelle zu entwickeln. Dazu werden folgende Themen bearbeitet:
"Strukturanalysen, Verfahrensentwurf und Modelleinordnung": Hier werden von der Erforschung grundlegender Struktureigenschaften bis zur numerischen Testung von Algorithmen für stationäre zufallsbehaftete Gasoptimierungsmodelle auf möglichst breiter Front neue Erkenntnisse gewonnen und systematisiert, um letzten Endes solche Zugänge zu identifizieren, die auch für zufallsbehaftete dynamische Modelle aussichtsreich sind. Dies erfolgt mit stetem Blick auf die dynamischen Modelle im gemeinsamen TP C03 und wird ergänzt durch die Erkundung von Modellen der Uncertainty Quantification (UQ) mit TP B02.
"Algebraische Beschreibung der Zulässigkeit": Hier wird ein zentrales Zulässigkeitsproblem in Gasnetzen bei Zufallseinfluss behandelt. Nämlich, ob bei einem gegebenen Netzzustand weitere (zufallsbehaftete) Transportaufträge realisierbar sind, wobei letztere lediglich bilanziert sein müssen, ohne a priori Ausspeisestellen feste Gasmengen zuzuweisen. Mit TP B04 gibt es hier erste, noch zu erweiternde Resultate für Verteilungen vom Gauß-Typ. Ebenfalls mit B04 und erweitert um das TP B03 soll, verwandte mathematische Konzepte vermutend, die Fortpflanzung stochastischer Fehler in gekoppelten Teilmodellen unterschiedlicher mathematischer Provenienz untersucht werden.
"Explizite Fluss- und Druckprofile, Inversion polynomialer Gleichungen": Hier zielen die Untersuchungen auf grundlegende, neue mathematische Erkenntnisse für Abbildungen,die stückweise durch Polynome vom Grad 2 und Anwendungen des Absolutbetrages gegeben sind. Die Abbildungen entstehen bei einer (wohlbekannten) Eliminierung der Druckvariablen aus den Euler-Gleichungen. Insbesondere soll ihre explizite Invertierbarkeit studiert werden, was in Dimension 1 mittels Schulstoff gelingt, in Dimension 2 jedoch bereits ein ungelöstes mathematisches Problem darstellt. Eigenschaften wie Monotonie, Koerzivität und die Polynomstruktur sollen in den geplanten Untersuchungen ausgenutzt werden. Die erstrebten Inversen führen auf explizite Darstellungen des kompletten Fluss-Druck-Profils in Abhängigkeit der Ein- und Ausspeisungen und sind so von großer Bedeutung bei der Analyse von Modellen des Typs ISO-ALG.
"Dekomposition zeitdiskreter stochastischer Gasnetzmodelle": Die Untersuchungen zu diesem Thema sind Ziel (ii) zugeordnet und sollen eine algorithmische Verbindung zu transienten Gasflussmodellen und -algorithmen herstellen. Dazu wird ein gegebenes transientes Modell in Ort und Zeit diskretisiert. Bis zu einem Zeitpunkt τ sind die Daten deterministisch, anschließend stochastisch mit endlich vielen Realisierungen. So entstehen zweistufige Modelle, die den "Klassikern" in der Stochastischen Optimierung so nahe kommen, dass es lohnt, neben den Modellen auch Ideen für Dekompositionsverfahren aus der endlichdimensionalen stochastischen Optimierung zu übertragen.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B05(Phase1) ist hier zu finden.

B06: Robustifizierung physikalischer Parameter in Gasnetzen

Ansprechpartner:

Denis Aßmann

Prof. Dr. Frauke Liers

Prof. Dr. Michael Stingl

Ziel des Teilprojekts ist es, robuste Modelle für die globale Optimierung mit Anwendung bei Gasnetzen zu entwickeln. Hintergrund ist, dass in vielen Anwendungen bestimmte Parameter nur grob geschätzt werden können. Ein prominentes Beispiel bei Gasnetzen ist die Rohrrauheit, welche die Reibung und damit den Gasdruck beeinflusst. Sie hängt vom Verschmutzungsgrad ab und kann nur unter großem Aufwand gemessen werden. Mit Blick auf die Gasmodellierung kann der sogenannte Realgasfaktor nur grob erfasst werden, da typischerweise verschiedene Gase in die Netze eingeleitet werden und die Mischungsverhältnisse nicht zu jedem Zeitpunkt bekannt sind. Zudem finden konstitutive physikalische Gesetzmäßigkeiten Verwendung; hier ist insbesondere die Berechnung des Reibungswiderstandes aus den Materialparametern zu nennen. Schließlich entstehen methodische Quellen von Unsicherheiten etwa durch Approximation nichtlinearer Funktionen im Rahmen gemischt-ganzzahliger linearer Optimierungsprobleme (MIPs). ähnliche Rahmenbedingungen finden sich bei verschiedenen Anwendungen, so dass Ergebnisse aus diesem Teilprojekt auch bei anderen robusten Optimierungsproblemen wie zum Beispiel der Optimierung von Wassernetzen Verwendung finden können.
Im Rahmen der robusten Optimierung werden kontinuierliche Zustandsvariablen als justierbar ('adjustable') und ganzzahlige Entscheidungen als hier- und-jetzt Variablen eingestuft. Abhängig von den Annahmen an die Unsicherheiten ergeben sich Optimierungsprobleme mit ganzzahligen sowie kontinuierlichen Variablen über dem Standardordnungskegel im Rn, dem Lorentzkegel (second-order cone, SOC) sowie dem Kegel der positiv semidefiniten Matrizen (SDP). Diese unterschiedlichen Modellierungsmöglichkeiten werden für die Gasnetzoptimierung spezifiziert und auf konkrete Problemstellungen angewandt. Ein Fokus liegt dabei auf der Entwicklung exakter Methoden, bei denen in den Subproblemen über SDP-Kegeln optimiert wird. Es wird zunächst der stationäre Fall untersucht, der instationäre Fall auf der Grundlage reduzierter Modelle ist jedoch das mittelfristige Ziel.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B06(Phase1) ist hier zu finden.

B07: Adaptive MIP-Relaxierungen für MINLP

Ansprechpartner:

Robert Burlacu

Prof. Dr. Alexander Martin

Dr. Lars Schewe

Ziel dieses Teilprojekts ist die Analyse und Lösung großer MINLPs, insbesondere aus dem Bereich der instationären Gasnetzoptimierung, mittels adaptiver MIP-Modelle. Hierbei sollen Nichtlinearitäten zunächst stückweise-linear approximiert werden, um daraus MIP-Relaxierungen der MINLPs zu generieren. Dazu sollen theoretische Aussagen über die Komplexität der Relaxierungen, abhängig von strukturellen Eigenschaften der nichtlinearen Funktionen und des Linearisierungsfehlers, bewiesen werden, wobei bekannte Aussagen der Approximationstheorie mit Techniken der polyedrischen Kombinatorik zusammengebracht werden sollen. Weiter sollen Erkenntnisse über die polyedrische Struktur der so entstehenden MIP-Relaxierungen gewonnen werden.
Diese Erkenntnisse sollen genutzt werden, um für das in [1] vorgeschlagene MINLP-Lösungsverfahren geeignete Algorithmen zur adaptiven Verfeinerung der MIP-Relaxierungen zu entwickeln. Dabei ist zu beachten, dass in einem Verfeinerungsschritt dem Problem sowohl Variablen als auch Nebenbedingungen hinzugefügt werden, was im schlimmsten Fall einen Kaltstart des MIP-Lösungsverfahrens notwendig macht. Ein zentraler Punkt bei der Entwicklung der Verfeinerungs-algorithmen stellt daher deren Integrierbarkeit in ein Branch-and-Cut-Verfahren dar.
Die gewonnenen strukturellen Resultate sollen darüber hinaus zur Herleitung von oberen Schranken an die Komplexität von Lösungsverfahren für Klassen von nichtkonvexen MINLPs verwendet werden und in die Weiterentwicklung des in [1] vorgeschlagenen Verfahrens einfließen. Dieses soll schließlich zur Lösung von nichtkonvexen MINLPs aus der instationären Gasnetzoptimierung verwendet werden.
Ein Übersichtsposter aus der Begutachtung zu B07(Phase1) ist hier zu finden.

B08: Wohlfahrtsoptimale Nominierungen in Gasnetzen und zugehörige Gleichgewichte

Ansprechpartner:

Prof. Dr. Veronika Grimm

Julia Grübel

Dr. Lars Schewe

Prof. Dr. Martin Schmidt

Prof. Dr. Gregor Zöttl

Ziel dieses Teilprojekts ist die Analyse der Beziehung zwischen (i) den Gleichgewichten in einfachen Wettbewerbsmodellen des Gasmarktes und (ii) der Lösung eines korrespondierenden einstufigen Wohlfahrtsmaximierungsproblems. Ein tiefgehendes Verständnis dieses Zusammenhangs ist eine zwingende Voraussetzung für eine Analyse des in Europa vorherrschenden Entry-Exit-Systems im Gashandel unter Einbeziehung der physikalischen Eigenschaften des Gasflusses. Ähnliche Fragestellungen wurden bereits in der Strommarktliteratur ausführlich analysiert. Aufgrund der Komplexität der Modellierung von Gasflüssen im Netzwerk ist eine entsprechende Analyse von Gasmärkten jedoch von deutlich höherer Komplexität: Zum einen sind Gasflüsse in Netzwerken nicht konvex modellierbar aufgrund der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse. Dies impliziert, dass klassische Optimalitätsbedingungen nicht hinreichend sind. Zum anderen erfordert der Gastransport den Einsatz aktiver Elemente wie Schieber oder Kompressoren. Diese Elemente erfordern den Einsatz von Binärvariablen, die weitere Nicht-Konvexitäten in den zugrundeliegenden Gleichgewichtsproblemen implizieren.
Als Ergebnis des Projekts soll ein erstes Referenzmodell erarbeitet werden, das die Analyse der Gasphysik und die Analyse von Gasmärkten verbindet. Dieses Modell soll die Basis darstellen für die weitergehende Analyse mehrstufiger Modelle von Gasmärkten mit einem Entry-Exit System. Darüber hinaus erweitern die Resultate das Verständnis von binären Gleichgewichtsproblemen.